Joan Antoni Puig i Montserrat wurde am 20. Juli 1813 in Felanitx geboren.
Er trat dem franziskanischen Ordo Fratrum Minorum (Orden der Minderen Brüder) bei, der ihm die Erlaubnis erteilte, seinen religiösen Dienst auf Puerto Rico zu versehen. Nachdem er am 23. Dezember 1837 in San Juan zum Priester geweiht worden war, blieb er als Pastor in der Kathedrale von San Juan tätig.
Am 29. November 1871 verstarb Vincente Benigno Carrión de Luna, der Bischof von Puerto Rico (1857 bis 1871). Die Vakanz des Bischofsstuhls löste zunächst zwischen dem spanischen König Amadeo I (1871 bis 1873) und Papst Pius IX (1846 bis 1878) sowie sodann zwischen dem spanischen Präsidenten Francisco Serrano y Domínguez (1874) und Pius IX einen Streit aus. Amadeo I wollte Puig unter Missachtung der päpstlichen Autorität zum kirchlichen Oberhaupt des Bistums Puerto Rico ernennen, was Puig ohne eine vorherige Berufung durch den Papst wegen der Gefahr einer Kirchenspaltung jedoch ablehnte. Am 16. Januar 1874 wurde Puig von Pius IX, auch aus Dankbarkeit für seine loyale Haltung gegenüber der römisch-katholischen Kirche, zum Bischof von Puerto Rico bestimmt. Da nunmehr Serrano unter Hinweis auf ein vermeintliches Präsentationsrecht gegen die Ernennung opponierte, verzögerten sich die weiteren Abläufe, sodass Puig erst am 24. Januar 1875 in Madrid zum Bischof von Puerto Rico geweiht wurde.

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Neben seinen kirchlichen Aufgaben übte Puig auch politische Ämter aus.
Nachdem der spanische Ministerpräsident Leopoldo O’Donnell y Jorris (1858 bis 1863) zurückgetreten war, geriet das (Erste) Königreich Spanien in eine Periode von heftigen Parteikämpfen und schweren Politikschwankungen. Die spanische Königin Isabel II (1833 bis 1868) verfolgte zwar zunächst eine liberale Politik, doch wandte sie sich sodann einer repressiven Herrschaft zu, die von Untersagungen und Unterdrückungen geprägt war. Die provinziellen und gemeindlichen Freiheiten wurden zu Gunsten einer zentralistischen Staatsführung eingeschränkt. Die Presse wurde überwacht und zensiert. Das Erziehungswesen wurde wieder dem reaktionären Klerus übertragen. Die Bevölkerung wurde durch polizeiliche und militärische Maßnahmen kontrolliert. Während sich Isabel II am 18. September 1868 in Biarritz mit dem französischen Kaiser Napoléon III (1852 bis 1870) traf, rief Admiral Juan Bautista Topete Carballo (*1821 bis 1885) in Cádiz die Glorreiche Revolution (1868) aus, die von den Generälen Antonio Caballero y Fernández de Rodas (*1816 bis 1876), Domingo Dulce y Garay (*1808 bis 1869), Juan Prim Prats (*1814 bis 1870), Rafael Primo de Rivera y Sobremonte (*1813 bis 1902), Ramón Nouvilas Rafols (*1812 bis 1880) und Francisco Serrano y Domínguez (*1810 bis 1885) geplant worden war. Zwar veröffentliche die nach Frankreich geflohene Isabel II am 3. Oktober 1868 einen Protest gegen die Glorreiche Revolution, doch erklärte sie am 25. Juni 1870 in Paris zugunsten ihres Sohnes Alfonso den Verzicht auf die spanische Krone. Während des nachfolgenden Sexenio Democrático (Demokratischen Sexenniums) gewannen die revolutionären Kräfte einen deutlichen Einfluss auf die politische Entwicklung im (Ersten) Königreich Spanien, die insbesondere auch im spanischen Congreso (Kongress) del Sexenio Democrático ausgeübt wurde. Erst nachdem der spanische König Alfonso XII der Friedensstifter (1874 bis 1885) am 29. Dezember 1874 in Sagunt von General Arsenio Martinez-Campos Antón (*1831 bis 1900) zum König des (Zweiten) Königreichs Spanien ausgerufen worden war, endete das Sexenio Democrático, aus dem am 11. Februar 1873 die (Erste) Spanische Republik hervorgegangen war.
Während des Sexenio Democrático saß Puig vom 3. Oktober 1869 bis zum 2. Januar 1871 als Abgeordneter im Congreso del Sexenio Democrático. Während des (Zweiten) Königreichs Spanien hatte er von 1884 bis 1886 einen Sitz im spanischen Senado (Senat), in dem er Kuba und Puerto Rico vertrat.
Von der Mitte des 18. Jahrhunderts bis zum Ende des 19. Jahrhundert durchlief Spanien mehrere Phasen der Desamortisation, in denen öffentliche und kirchliche Güter zunächst in Nationaleigentum überführt und sodann durch Versteigerung in Privateigentum weitergeleitet wurden. Durch die Versteigerungserlöse sollten nicht nur die Staatsschulden gesenkt werden, vielmehr sollten die Maßnahmen auch eine Aufteilung des Grundbesitzes auf eine größere Anzahl von Eigentümern und damit eine Steigerung der Produktivität bewirken. Die ausgedehnten Latifundien wurden häufig nur extensiv bewirtschaftet, während man sich von einer Verkleinerung der Landflächen eine intensivere Nutzung versprach. Als Entschädigung für die desamortisierten Güter erhielten die Eigentümer in der Regel eine Staatsanleihe, die ihnen für die Dauer von vierzehn Jahren einen jährlichen Betrag von 3 Prozent des Desamortisationswerts zusagte.
Die in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts betriebene Desamortisation des santuari (Heiligtums) de Sant Salvador de Felanitx löste schwere Sorgen und großen Widerstand in der mallorquinischen Bevölkerung aus. Um den traditionellen Wallfahrtsort zu erhalten, bemühte sich Puig um einen Erwerb des Heiligtums, das er 1885 vom (Zweiten) Königreich Spanien ersteigerte. Mit der Übertragung auf das Bistum Mallorca sicherte Puig sodann die dauerhafte Eröffnung des Heiligtums für die Allgemeinheit, die sich bis heute von dem Heiligtum faszinieren lässt.
Puig verstarb am 2. Januar 1894 in San Juan.
Die municipi (Gemeinde) Palma ernannte ihn zum fill·ilustre (Berühmten Sohn).