Joan Antoni Puig i Montserrat wurde am 20. Juli 1813 in Felanitx geboren.
Er trat dem franziskanischen Orden der Minderen Brüder bei, der ihm die Erlaubnis erteilte, seinen religiösen Dienst auf Puerto Rico zu versehen. Nachdem er am 23. Dezember 1837 in San Juan zum Priester geweiht worden war, blieb er als Pastor in der Kathedrale von San Juan tätig.
Am 29. November 1871 verstarb Vincente Benigno Carrión de Luna, der Bischof von Puerto Rico (1857 bis 1871). Die Vakanz des Bischofsstuhls löste zunächst zwischen dem spanischen König Amadeo I (1871 bis 1873) und Papst Pius IX (1846 bis 1878) sowie sodann zwischen dem spanischen Präsidenten Francisco Serrano Domínguez (1874) und Pius IX einen Streit aus. Amadeo I wollte Puig unter Missachtung der päpstlichen Autorität zum kirchlichen Oberhaupt des Bistums Puerto Rico ernennen, was Puig ohne eine vorherige Berufung durch den Papst wegen der Gefahr einer Kirchenspaltung jedoch ablehnte. Am 16. Januar 1874 wurde Puig von Pius IX, auch aus Dankbarkeit für seine loyale Haltung gegenüber der römisch-katholischen Kirche, zum Bischof von Puerto Rico bestimmt. Da nunmehr Serrano unter Hinweis auf ein vermeintliches Präsentationsrecht gegen die Ernennung opponierte, verzögerten sich die weiteren Abläufe, sodass Puig erst am 24. Januar 1875 in Madrid zum Bischof geweiht wurde.
Er hatte von 1884 bis 1886 einen Sitz im kubanisch-puerto-ricanischen Senado (Senat).
Puig verstarb am 2. Januar 1894 in San Juan.
Die Gemeinde Palma ernannte ihn zum fill il lustre (Berühmter Sohn).